🐆 Soal Dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri I consider, that you commit an error. I can defend the position. Write to me in PM, we will discuss.

Soalsoal yang akan kita bahas meliputi turunan pertama, turunan kedua dan seterusnya, nilai stasioner, fungsi turun dan fungsi naik, titik belok, nilai maksimum dan minimum, persamaan garis singgung kurva maupun aplikasi fungsi turunan. Pengertian dan Definisi Turunan Fungsi

belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Trigonometri. Turunan fungsi trigonometri ini adalah kelanjutan Calon guru belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika SMA Turunan Fungsi Trigonometri. Turunan fungsi trigonometri ini adalah kelanjutan atau pengembangan dari turunanan fungsi aljabar. Sama halnya dengan turunan fungsi aljabar bahwa untuk belajar matematika dasar turunan fungsi trigonometri, ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang limit fungsi aljabar. Terkhusus lagi untuk belajar turunan fungsi trigonometri, kita juga sudah belajar limit fungsi trigonometri, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar turunan fungsi. Penerapan turunan fungsi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, diantaranya menemukan nilai maksimum atau minimum. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada turunan fungsi trigonometri bukanlah hal sulit, jika kita mau mengikuti step by step yang kita diskusikan pada alternatif pembahasan soal dibawah ini, maka kita akan bisa memahami soal-soal turunan fungsi trigonometri. Turunan diferensial dari sebuah fungsi $f$ adalah fungsi yang dituliskan $f'$ dibaca"f aksen". Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $fx$ maka turunan pertama fungsi tersebut adalah $f'x$, didefinisikan $f'x=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{fx+h-fx}{h}$ dengan catatan bahwa nilai limit ini ada. Jika $f'x$ bisa diperoleh $f$ dikatakan dapat diturunakan diferentiable. Selain bentuk $f'x$ dibaca"f aksen x", bentuk lain yang umum dipakai pada penulisan turunan fungsi $y=fx$ adalah $y'$ atau $D_{x}fx$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \leftfx\right}{dx}$. ATURAN TURUNAN FUNGSI Dari definisi turunan fungsi di atas, diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi yang dapat digunakan pada turunan fungsi aljabar atau turunan fungsi trigonometri, antara lain Jika $fx=k$ kkonstanta maka $f'x=0$ Jika $fx=x$ maka $f'x=1$ Jika $fx= kx^{n}$ maka $f'x=knx^{n-1}$ Jika $fx= k \cdot ux$ maka $f'x=k \cdot u'x$ Jika $fx=ux+vx$ maka $f'x=u'x + v'x$ Jika $fx=ux - vx$ maka $f'x=u'x - v'x$ Jika $fx=ux \cdot vx$ maka $f'x=u'x \cdot vx+ux \cdot v'x$ Jika $fx=\dfrac{ux}{vx}$ maka $f'x=\dfrac{u'x \cdot vx-ux \cdot v'x}{v^{2}x}$ Jika $fx= u^{n}x$ maka $f'x=n \cdot u^{n-1}x \cdot u'x$ Jika $fx= \left ux \right $ maka $f'x=\dfrac{ux}{\left ux \right } \cdot u'x,\ \ u\neq 0 $ Jika $fx= ln\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{ux}$ Jika $fx=e^{ux}$ maka $f'x=u'x \cdot e^{ux}$ Jika $fx=log_{a}ux$ maka $f'x= \dfrac{u'x}{ln\ a \cdot ux}$ Jika $fx=a^{ux}$ maka $f'x=a^{ux} \cdot u'x \cdot ln\ a$ ATURAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRIDari definisi turunan fungsi, selain beberapa aturan pada turunan fungsi di atas, khusus untuk turunan fungsi trigonometri diperoleh beberapa aturan dasar turunan fungsi, yaitu Jika $fx=sin\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot cos\ ux$ Jika $fx=cos\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot sin\ ux$ Jika $fx= tan\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot sec^{2}\ ux$ Jika $fx= cot\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csc^2\ ux$ Jika $fx= sec\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot sec\ ux\ tan\ ux$ Jika $fx=csc\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csc\ ux\ cot\ ux$ Jika $fx=arcsin\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{\sqrt{1-u^{2}x}}$ Jika $fx=arccos\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{\sqrt{1-u^{2}x}}$ Jika $fx=arctan\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{1+u^{2}x}$ Jika $fx=arccot\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{1+u^{2}x}$ Jika $fx=arcsec\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{ux \sqrt{u^{2}x-1}}$ Jika $fx=arccsc\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{ux \sqrt{u^{2}x-1}}$ Jika $fx=sinh\ ux$ maka $f'x= u'x \cdot cosh\ ux$ Jika $fx=cosh\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot sinh\ ux$ Jika $fx=tanh\ ux$ maka $f'x=u'x \cdot sech^{2}\ ux$ Jika $fx=coth\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csch^2\ ux$ Jika $fx=sech\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot sech\ ux\ tanh\ ux$ Jika $fx=csch\ ux$ maka $f'x=-u'x \cdot csch\ ux\ coth\ ux$ Jika $fx=sinh^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{\sqrt{u^{2}x+1}}$ Jika $fx=cosh^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{\sqrt{u^{2}x-1}}$ Jika $fx=tanh^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{1-u^{2}x}$ Jika $fx=coth^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{u'x}{1-u^{2}x}$ Jika $fx=sech^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{ux\sqrt{1-u^{2}x}}$ Jika $fx=csch^{-1}\ ux$ maka $f'x=\dfrac{-u'x}{ux \sqrt{1+u^{2}x}}$ MENENTUKAN GRADIEN GARIS SINGGUNG KURVA Jika kurva $y=fx$ disinggung oleh garis $g$ dititik $x_{1},y_{1}$, gradien garis singgung $g$ adalah $m=f'x_{1}$ dan persamaan garis singgung $g$ adalah $y-y_{1}=mx-x_{1}$. FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Jika $f'x \gt 0$ maka fungsi $y=fx$ naik atau sebaliknya jika $y=fx$ naik maka $f'x \gt 0$ Jika $f'x \lt 0$ maka fungsi $y=fx$ turun atau sebaliknya jika $y=fx$ turun maka $f'x \lt 0$ NILAI MAKSIMUM atau NILAI MINIMUMNilai maksimum atau minimum suatu fungsi $fx$ dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua. Jika $x=a$ pada $f'a=0$ sehingga $f''a \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $fx$ minimum atau nilai minimum $fx$ adalah $fa$. Jika $x=a$ pada $f'a=0$ sehingga $f''a \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $fx$ maskimum atau nilai maksimum $fx$ adalah $fa$. Soal dan Pembahasan Matematika SMA Turunan Fungsi Trigonometri Untuk memantapkan beberapa aturan dasar turunan fungsi trigonometri di atas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau sekolah kedinasan😊. 1. Soal UMPTN 1992 Rayon A *Soal LengkapDiketahui fungsi $fx=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$. Garis singgung grafiknya pada $x=\dfrac{\pi}{2}$ memotong sumbu $y$ di titik $x=\left 0,b \right$. Nilai $b$ adalah... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & \dfrac{\pi}{2} \\ C\ & -2+\dfrac{\pi}{2} \\ D\ & 2-\dfrac{\pi}{2} \\ E\ & 2+\dfrac{\pi}{2} \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk kita ingat bahwa jika $y=sin\ x$ maka $y'=cos\ x$ dan $y=cos\ x$ maka $y'=-sin\ x$. Untuk $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ pada $fx=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$ maka kita peroleh $\begin{align} y &=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ &=\dfrac{2+cos\ 90^{\circ}}{sin\ 90^{\circ}} \\ &=\dfrac{2+0}{1}=2 \\ \hline x,y &= \left 90^{\circ},2 \right \end{align}$ Gradien garis singgung di sebuah titik dapat kita tentukan dengan menggunakan turunan pertama yaitu $m=f'x$, sehingga saat $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ kita peroleh $\begin{align} fx\ &= \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'x = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ \hline m=f'x &= \dfrac{\left -sin\ x \right\leftsin\ x \right-\left 2+cos\ x \right\leftcos\ x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2} x -\left 2cos\ x+cos^{2} x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2} x -2cos\ x-cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left sin^{2}+cos^{2} x \right -2cos\ x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1 -2cos\ x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1 -2cos\ 90^{\circ} }{sin^{2} 90^{\circ}} \\ &= \dfrac{ - 1 -2 0 }{1^{2}} \\ &= -1 \\ \end{align}$ Persaman garis untuk $m=-1$ pada $x,y= \left 90^{\circ},2 \right$ adalah $\begin{align} y-y_{1} &= m \left x-x_{1} \right \\ y-2 &= -1 \left x- 90^{\circ} \right \\ y-2 &= -x+ 90^{\circ} \\ y &= -x+2+ 90^{\circ} \end{align}$ Garis memotong sumbu $y$ di titik $\left 0,b \right$ sehingga $\begin{align} y &= -x+2+ 90^{\circ} \\ b &= -0+2+ 90^{\circ} \\ b &=2+ 90^{\circ} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 2+\dfrac{\pi}{2}$2. Soal UMPTN 1993 Rayon B *Soal LengkapJika $fx= - \left cos^{2}x-sin^{2}x \right$, maka $f'x$ adalah... $\begin{align} A\ & 2 \left cos\ x + sin\ x \right \\ B\ & 2 \left cos\ x - sin\ x \right \\ C\ & sin\ x\ cos\ x \\ D\ & 2\ sin\ x\ cos\ x \\ E\ & 4\ sin\ x\ cos\ x \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk menyelesaikan soal ini kita meminjam sifat dari identitas trigonometri yaitu $sin\ 2x=2\ sin\ x\ cos\ x$ dan $cos\ 2x=cos^{2}x-sin^{2}x$, sehingga berlaku $\begin{align} fx &= - \left cos^{2}x-sin^{2}x \right \\ &= - \left -2\ sin\ 2x \right \\ &= 2\ sin\ 2x \\ &= 2\ \cdot 2 sin\ x\ cos\ x \\ &= 4 sin\ x\ cos\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 4\ sin\ x\ cos\ x$3. Soal UMPTN 1993 Rayon B *Soal LengkapJika $y=3x^{4}+sin\ 2x +cos\ 3x$, maka $\dfrac{dy}{dx}=\cdots$ $\begin{align} A\ & 12x^{3}+2\ cos\ 2x +3\ sin\ 3x \\ B\ & 12x^{3}+ cos\ 2x - sin\ 3x \\ C\ & 12x^{3}-2\ cos\ 2x +3\ sin\ 3x \\ D\ & 12x^{3}-2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \\ E\ & 12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} y &=3x^{4}+sin\ 2x +3\ cos\ 3x \\ \dfrac{dy}{dx} &=34x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \\ &=12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x$4. Soal UMPTN 1993 Rayon C *Soal LengkapJika $y=2\ sin\ 3x -3\ cos\ 2x$, maka $\dfrac{dy}{dx}=\cdots$ $\begin{align} A\ & 2\ cos\ 3x -3\ sin\ 2x \\ B\ & 6\ cos\ 3x -3\ sin\ 2x \\ C\ & 2\ cos\ 3x +3\ sin\ 2x \\ D\ & 6\ cos\ 3x +6\ sin\ 2x \\ E\ & -6\ cos\ 3x - 6\ sin\ 2x \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} y &=2\ sin\ 3x -3\ cos\ 2x \\ \dfrac{dy}{dx} &=23\ cos\ 3x -3 \left-2\ sin\ 2x \right \\ &=6\ cos\ 3x +6 \ sin\ 2x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 12x^{3}+2cos\ 2x -3 sin\ 3x$5. Soal UMPTN 1999 Rayon A *Soal LengkapJika $fx=\dfrac{sin\ x+cos\ x}{sin\ x}$, $sin\ x \neq 0$ dan $f'x$ adalah turunan $fx$, maka $f' \left \dfrac{\pi}{2} \right $ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} fx\ &= \dfrac{sin\ x+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'x = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ \hline f'x &= \dfrac{\left cos\ x - sin\ x \right\left sin\ x \right-\left sin\ x + cos\ x \right\left cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{cos\ x\ sin\ x - sin^{2} x- sin\ x\ cos\ x-cos^{2}x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - sin^{2} x-cos^{2}x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left sin^{2} x+cos^{2}x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1}{sin^{2} x} \\ \hline f' \left \dfrac{\pi}{2} \right &= \dfrac{ - 1}{sin^{2} \left \dfrac{\pi}{2} \right} \\ &= \dfrac{ - 1}{1} = -1 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -1$6. Soal UMPTN 1998 Rayon A *Soal LengkapJika $fx=a\ tan\ x +bx$, $f'\left \dfrac{\pi}{4} \right=3$ dan $f'\left \dfrac{\pi}{3} \right=9$, maka $a+b=\cdots$ ... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 1 \\ C\ & \dfrac{\pi}{2} \\ D\ & 2 \\ E\ & \pi \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $fx=tan\ x$ maka $f'x=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $fx=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$. $\begin{align} fx & = a\ tan\ x +bx \\ f'x & = a\ sec^{2} x +b \\ f'x & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{4} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{4} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 45^{\circ} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2}\sqrt{2} \right^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{3} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{3} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 60^{\circ} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2} \right^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$ Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh $\begin{array}{cccc} 2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline 2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline a+b=0 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $A\ 0$7. Soal SPMB 2002 Regional I *Soal LengkapTurunan pertama dari $y=cos^{4}\ x$ adalah... $\begin{align} A\ & \dfrac{1}{4}\ cos^{3}x \\ B\ & -\dfrac{1}{4}\ cos^{3}x \\ C\ & \dfrac{1}{4}\ sin^{3}x \\ D\ & -4\ sin^{3}x cos\ x \\ E\ & -4\ cos^{3}x\ sin\ x \end{align}$ Alternatif PembahasanUntk menyelesaikan masalah di atas kita coba dengan pemisalan $\begin{align} u & = cos\ x \\ \dfrac{du}{dx} & = -sin\ x \\ \hline y & = cos^{4}\ x\\ y & = u^{4} \\ \dfrac{dy}{du} & = 4u^{3} \\ \hline \dfrac{dy}{dx} & = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 4u^{3} \cdot \left -sin\ x \right \\ & = 4cos^{3}\ x \cdot \left -sin\ x \right \\ & = -4cos^{3}\ x \cdot sin\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $E\ -4\ cos^{3}\ x \cdot sin\ x$8. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapJika $fx=a\ tan\ x +bx$, $f'\left \dfrac{\pi}{4} \right=3$ dan $f'\left \dfrac{\pi}{3} \right=9$, maka $a+b=\cdots$ ... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 2 \\ C\ & \dfrac{24}{5} \\ D\ & 6 \\ E\ & \dfrac{39}{5} \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru yang mungkin kita perlukan tentang Turunan Fungsi yaitu jika $fx=tan\ x$ maka $f'x=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan adalah menurunkan $fx=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai aturan $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$. $\begin{align} fx & = a\ tan\ x +bx \\ f'x & = a\ sec^{2} x +b \\ f'x & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{4} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{4} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 45^{\circ} \right} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2}\sqrt{2} \right^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline f'\left \dfrac{\pi}{3} \right & = \dfrac{a}{cos^{2} \left \dfrac{\pi}{3} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left 60^{\circ} \right} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left \frac{1}{2} \right^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$ Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh $\begin{array}{cccc} 2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline 2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline a+b=0 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $A\ 0$9. Soal SBMPTN 2017 Kode 106/124 *Soal LengkapJika $fx=sinsin^{2}x$, maka $f'x=\ldots$ $\begin{align} A\ & 2\ sin\ x \cdot cossin^{2}x \\ B\ & 2\ sin\ 2x \cdot cossin^{2}x \\ C\ & sin^{2}x \cdot cossin^{2}x \\ D\ & sin^{2}2x \cdot cossin^{2}x \\ E\ & sin\ 2x \cdot cossin^{2}x \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi di atas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu $f'x = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$ Soal$fx=sinsin^{2}x$ Misal $u=sin\ x$ $\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$ Soal$fx=sinu^{2}$ Misal $v=u^{2}$ $\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$ Soal$fx=sinv$ $\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cosv$ $\begin{split} f'x = \dfrac{df}{dx} & = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\ & =cosv \cdot 2u \cdot cos\ x\\ & =cosu^{2} \cdot 2sin\ x \cdot cos\ x\\ & =cossin^{2}x \cdot 2sin\ x \cdot cos\ x\\ & =cossin^{2}x \cdot sin\ 2x\\ & = sin\ 2x \cdot cossin^{2}x \end{split}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ sin\ 2x \cdot cossin^{2}x$ 10. Soal SBMPTN 2017 Kode 135 *Soal Lengkap Misalkan $fx=2\ tan \left\sqrt{sec\ x} \right$, maka $f'x\cdots$ $\begin{align} A\ & sec^{2} \left\sqrt{sec\ x} \right \cdot tan\ x \\ B\ & sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x \\ C\ & 2sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x \\ D\ & sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot sec\ x \cdot tan\ x \\ E\ & 2sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot sec\ x \cdot tan\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi di atas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu $f'x = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$ Soal$fx=2\ tan \left\sqrt{sec\ x} \right$ Misal $u=sec\ x$ $\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=sec\ x\ \cdot \tan\ x$ Soal$fx=2\ tan \left\sqrt{u} \right$ Misal $v=\sqrt{u}$ $\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}$ Soal$fx=2\ tan \left v \right$ $\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=2sec^{2}v$ $\begin{split} f'x = \dfrac{df}{dx} &= \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\ & =2sec^{2}v \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & =2sec^{2}\left \sqrt{u} \right \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{sec\ x}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & =sec^{2}\left \sqrt{sec\ x} \right \cdot \dfrac{1}{\sqrt{sec\ x}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & = sec^{2}\left \sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot \tan\ x \end{split}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ sec^{2}\left\sqrt{sec\ x} \right \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x$ 11. Soal SPMB 2005 Regional II *Soal Lengkap Turunan pertama dari fungsi $fx=\dfrac{1+cos\ x}{sin\ x}$ adalah $f'x=\cdots$ $\begin{align} A\ & \dfrac{1-sin\ x}{sin^{2}x} \\ B\ & \dfrac{ sin\ x-1}{cos\ x-1} \\ C\ & \dfrac{ 2}{cos\ x+1} \\ D\ & \dfrac{ 2}{sin\ x-1} \\ E\ & \dfrac{1}{cos\ x-1} \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= \dfrac{1+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline & u\ = 1+cos\ x \rightarrow u'=-sin\ x \\ & v\ = sin\ x \rightarrow v'=cos\ x \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v} \\ f'x &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f'x &= \dfrac{\left -sin\ x \right\left sin\ x \right-\left 1 + cos\ x \right\left cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2}\ x - cos\ x - cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -\left sin^{2}\ x+cos^{2} x \right - cos\ x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -1 - cos\ x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left1 + cos\ x \right}{1-cos^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left1 + cos\ x \right}{\left1 + cos\ x \right\left1 - cos\ x \right} \\ &= \dfrac{ -1 }{ \left1 - cos\ x \right} \\ &= \dfrac{1}{cos\ x-1} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \dfrac{1}{cos\ x-1} $ 12. Soal SPMB 2005 Kode 772 Regional I *Soal Lengkap Jika fungsi $fx=sin\ ax + cos\ bx$ memenuhi $f'0=b$ dan $f'\left \frac{\pi}{2a} \right=-1$, maka $a+b=\cdots$ $\begin{align} A\ & -1 \\ B\ & 0 \\ C\ & 1 \\ D\ & 2 \\ E\ & 3 \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= sin\ ax + cos\ bx \\ f'x\ &= a\ cos\ ax -b\ sin\ bx \\ \hline f'0\ &= a\ cos\ 0 -b\ sin\ 0 \\ b\ &= a\ \cdot 1 -b\ \cdot 0 \\ b\ &= a \\ \hline f'\left \frac{\pi}{2a} \right\ &= a\ cos\ a\left \frac{\pi}{2a} \right -b\ sin\ b\left \frac{\pi}{2a} \right \\ -1\ &= a\ cos\ a\left \frac{\pi}{2a} \right -a\ sin\ a\left \frac{\pi}{2a} \right \\ -1\ &= a\ cos\ \left \frac{\pi}{2 } \right -a\ sin\ \left \frac{\pi}{2 } \right \\ -1\ &= a\ \cdot 0 -a\ \cdot 1 \\ -1\ &= -a \\ a\ &= 1\ \rightarrow b=1 \\ a+b\ &= 2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 2$ 13. Soal SPMB 2005 Kode 520 Regional II *Soal Lengkap Jika $fx=sin\ x\ cos\ 3x$, maka $f'\left \frac{1}{6}\pi \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & \dfrac{1}{2} \\ B\ & -\dfrac{1}{2} \\ C\ & -1\dfrac{1}{2} \\ D\ & -\dfrac{1}{2}+\sqrt{3} \\ E\ & -1\dfrac{1}{2}+\sqrt{3} \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= sin\ x\ cos\ 3x\\ \hline & u\ = sin\ x \rightarrow u'=cos\ x \\ & v\ = cos\ 3x \rightarrow v'=-3\ sin\ 3x \\ \hline \hline fx\ &= u \cdot v \\ f'x &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ f'x &= cos\ x \cdot cos\ 3x + sin\ x \cdot -3\ sin\ 3x \\ &= cos\ x \cdot cos\ 3x -3 sin\ x \cdot sin\ 3x \\ \hline f'\left \frac{1}{6}\pi \right &= cos\ \left \frac{1}{6}\pi \right \cdot cos\ 3\left \frac{1}{6}\pi \right -3 sin\ \left \frac{1}{6}\pi \right \cdot sin\ 3\left \frac{1}{6}\pi \right \\ &= cos\ 30^{\circ} \cdot cos\ 90^{\circ} -3 sin\ 30^{\circ} \cdot sin\ 90^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 0 -3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 \\ &= 0 - \dfrac{3}{2} \\ &=- \dfrac{3}{2} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ -1\dfrac{1}{2}$ 14. Soal SPMB 2005 Kode 171 Regional III *Soal Lengkap Turunan pertama dari fungsi $y= \left sin\ x\ + cos\ x \right^{2}$ adalah $y'=\cdots$ $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 4\ sin^{2}x \\ C\ & 4\ sin^{2}x-2 \\ D\ & 4\ cos^{2}x-2 \\ E\ & 4\ cos^{2}x-4 \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} fx\ &= \left sin\ x\ + cos\ x \right^{2} \\ &= sin^{2} x\ + cos^{2} x + 2\ sin\ x\ cos\ x \\ &= 1 + 2\ sin\ x\ cos\ x \\ &= 1 + sin\ 2x \\ f'x &= 2\ cos\ 2x \\ &= 2\ \left 2cos^{2}x-1 \right \\ &= 4\ cos^{2}x-2 \end{align}$ Alternatif yang lain dapat juga kita gunakan sifat turunan yaitu $\begin{align} fx\ &= \left sin\ x\ + cos\ x \right^{2} \\ f'x &= 2 \left sin\ x\ + cos\ x \right \left cos\ x\ - sin\ x \right \\ &= 2 \left cos^{2}\ x\ - sin^{2}\ x \right \\ &= 2 \left cos^{2}\ x\ - 1 +cos^{2}\ x \right \\ &= 2 \left 2cos^{2}\ x\ - 1 \right \\ &= 4\ cos^{2}x- 2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 4\ cos^{2}x-2$ 15. Soal UM UGM 2005 Kode 821 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= \sqrt{1+sin^{2}x},\ 0 \leq x \leq \pi$, maka $f'\left x \right \cdot f\left x \right$ sama dengan... $\begin{align} A\ & \left 1+sin^{2}x \right sin\ x\ cos\ x \\ B\ & \left 1+sin^{2}x \right \\ C\ & sin\ x\ cos\ x \\ D\ & sin\ x \\ E\ & \dfrac{1}{2} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right\ &= \sqrt{1+sin^{2}x} \\ f\left x \right\ &= \left 1+sin^{2}x \right^{\frac{1}{2}} \\ f'\left x \right\ &= \frac{1}{2} \cdot \left 1+sin^{2}x \right^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \cdot sin\ x \cdot cos\ x \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \cdot sin\ x \cdot cos\ x \\ &= \dfrac{sin\ x \cdot cos\ x}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \\ \hline f'\left x \right \cdot f\left x \right &= \sqrt{1+sin^{2}x} \cdot \dfrac{sin\ x \cdot cos\ x}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \\ &= sin\ x \cdot cos\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ sin\ x\ cos\ x$ 16. Soal UM UGM 2005 Kode 621 *Soal Lengkap Diketahui $f\left x \right= x\ sin\ 3x$, maka $f'\left \frac{\pi}{4} \right$ sama dengan... $\begin{align} A\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left1+ \dfrac{3\pi}{4} \right\\ B\ & \dfrac{\sqrt{2}}{4} \left1+ \dfrac{3\pi}{4} \right\\ C\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left1- \dfrac{3\pi}{4} \right\\ D\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left \dfrac{3\pi}{4}-1 \right\\ E\ & \dfrac{-\sqrt{2}}{2} \left1+ \dfrac{3\pi}{4} \right \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right\ &= x\ sin\ 3x \\ \hline & u\ = x \rightarrow u'=1 \\ & v\ = sin\ 3x \rightarrow v'= 3\ cos\ 3x \\ \hline fx\ &= u \cdot v \\ f'x &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ f'x &= 1 \cdot sin\ 3x + x \cdot 3\ cos\ 3x \\ &= sin\ 3x + 3x \cdot cos\ 3x \\ f'\left \frac{\pi}{4} \right &= sin\ 3\left \frac{\pi}{4} \right + 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot cos\ 3\left \frac{\pi}{4} \right \\ &= sin\ 135^{\circ} + 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot cos\ 135^{\circ} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot \left -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 3\left \frac{\pi}{4} \right \cdot \left \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right \\ &= \left \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right \left1 - 3 \cdot \frac{\pi}{4} \right \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left1- \dfrac{3\pi}{4} \right$ 17. Soal UM UGM 2006 Kode 381 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x + sin\ x}$, dengan $cos\ x +sin x \neq 0$ maka $f'\left x \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1- \left fx \right^{2}\\ B\ & -1+\left fx \right^{2}\\ C\ & - \left1+ \left fx \right^{2} \right \\ D\ & 1 + \left fx \right^{2}\\ E\ & \left fx \right^{2} \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right\ &= \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x + sin\ x} \\ \hline & u\ = cos\ x -sin\ x \rightarrow u'=-sin\ x - cos\ x \\ & v\ = cos\ x + sin\ x \rightarrow v'= -sin\ x + cos\ x \\ \hline fx\ &= \dfrac{u}{v} \\ f'x &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f'x &= \dfrac{\left -sin\ x - cos\ x \right\left cos\ x + sin\ x \right-\left cos\ x -sin\ x \right\left -sin\ x + cos\ x \right}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} } \\ &= \dfrac{-\left sin\ x + cos\ x \right^{2} -\left cos\ x -sin\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} } \\ &= \dfrac{-\left sin\ x + cos\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2}} - \dfrac{\left cos\ x -sin\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} }\\ &= -1 - \dfrac{\left cos\ x -sin\ x \right^{2}}{\left cos\ x + sin\ x \right^{2} }\\ &= -1 - \left fx \right^{2} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ - \left1+ \left fx \right^{2} \right$ 18. Soal UMPTN 1994 Rayon B *Soal Lengkap Jika $fx=x\ cos\ x$, maka $f'\leftx + \frac{\pi}{2} \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & -sin\ x\ -x\ cos\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ B\ & -sin\ x\ -x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ C\ & -sin\ x\ + x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ D\ & -sin\ x\ + x\ cos\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ E\ & -cos\ x\ + x\ sin\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk kita ingat bahwa $y=sin\ \left\frac{\pi}{2}+x \right=cos\ x$ dan $y=cos\ \left\frac{\pi}{2}+x \right=-sin\ x$. $\begin{align} fx &= x\ cos\ x \\ f\leftx + \frac{\pi}{2} \right &= \leftx + \frac{\pi}{2} \right\ cos\ \leftx + \frac{\pi}{2} \right \\ &= -\leftx + \frac{\pi}{2} \right\ sin\ x \\ \hline & u\ = -\leftx + \frac{\pi}{2} \right \rightarrow u'=-1 \\ & v\ = sin\ x \rightarrow v'= cos\ x \\ \hline fx\ &= u \cdot v \\ f'\leftx \right &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ \hline f' \leftx + \frac{\pi}{2} \right &= -1 \cdot sin\ x -\leftx + \frac{\pi}{2} \right \cdot cos\ x \\ &= -sin\ x -\leftx + \frac{\pi}{2} \right \cdot cos\ x \\ &= -sin\ x - x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -sin\ x\ -x\ cos\ x - \frac{pi}{2}\ cos\ x$ 19. Soal UMPTN 2001 Rayon C *Soal Lengkap Garis $g$ menyinggung kurva $y=sin\ x + cos\ x$ di titik yang berabsis $\dfrac{1}{3}\pi$. Gradien garis yang tegak lurus pada garis $g$ adalah... $\begin{align} A\ & 1-\sqrt{3} \\ B\ & 1+\sqrt{3} \\ C\ & 1 \\ D\ & \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \\ E\ & \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$. $\begin{align} y &= sin\ x + cos\ x \\ y' &= cos\ x - sin\ x \\ \hline m_{x=\frac{1}{3}\pi} &= cos\ \frac{1}{3}\pi - sin\ \frac{1}{3}\pi \\ &= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$ Gradien garis yang tegak lurus dengan garis singgung $g$ bergradien $m_{g}=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ adalah $\begin{align} m_{g} \cdot m_{l} &= -1 \\ m_{l} &= \dfrac{-1}{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \times \dfrac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2 \left 1 + \sqrt{3} \right}{1-3} \\ &= 1 + \sqrt{3} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 1+\sqrt{3}$ 20. Soal SNMPTN 2011 Kode 578 *Soal Lengkap Diketahui $f\left x \right=x^{\frac{1}{3}}\ sin\ x$. Persamaan garis singgung di $f$ yang melalui titik asal adalah... $\begin{align} A\ & x=0 \\ B\ & y=0 \\ C\ & y=x \\ D\ & y=-x \\ E\ & \text{tidak ada} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Gradien garis Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$. $\begin{align} f\left x \right &= x^{\frac{1}{3}}\ sin\ x \\ f'\left x \right &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ \end{align}$ Gradien garis singgung pada kurva yang melalui titik asal adalah $\begin{align} m_{g} &= \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ &= \frac{1}{3} \cdot \left 0 \right^{-\frac{2}{3}}\ sin\ \left 0 \right + \left 0 \right^{ \frac{1}{3}}\ cos\ \left 0 \right \\ &= \frac{1}{3} \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ &= 0 \end{align}$ Garis singgung melaluit titik asal $\left 0,0 \right$ dengan gradien $m=0$ adalah $\begin{align} y-y_{1} &= m \leftx-x_{1} \right \\ y-0 &= 0 \leftx- 0 \right \\ y &= 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ y=0$ 21. Soal SNMPTN 2010 KOde 528 *Soal Lengkap Jika garis singgung kurva $y=2x\ cos^{3} x$ di titik $\left \pi, -2\pi \right$ tegak lurus dengan garis $g$, maka persamaan garis $g$ adalah... $\begin{align} A\ & y=2x-3\pi \\ B\ & y=2x+\pi \\ C\ & y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}\pi \\ D\ & y=-\dfrac{1}{2}x+3\pi \\ E\ & y=\dfrac{1}{2}x+\pi \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk kita ingat bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$. $\begin{align} y &= 2x\ cos^{3} x \\ y' &= 2 \cdot cos^{3}\ x +2x \cdot 3 \cdot cos^{2}\ x \left -sin\ x \right \\ &= 2 \cdot cos^{3}\ x - 2x \cdot 3 \cdot cos^{2}\ x\ sin\ x \\ \hline m_{x=\pi} &= 2 \cdot cos^{3}\ \pi - 2\pi \cdot 3 \cdot cos^{2}\ \pi\ sin\ \pi \\ &= 2 \cdot -1^{3} - 2\pi \cdot 3 \cdot -1^{2}\ 0 \\ &= 2 \cdot -1 - 0 = -2 \end{align}$ Karena dua garis yang tegak lurus perkalian gradiennya adalah $-1$ sehingga gradien garis yang tegak lurus dengan garis bergradien $m_{g}=-2$ adalah $ m_{l}=\dfrac{1}{2} $ Persamaan garis di titik $\left \pi, -2\pi \right$ yang tegak lurus dengan garis $g$ adalah $\begin{align} y-y_{1} &= m \leftx-x_{1} \right \\ y+2\pi &= \dfrac{1}{2} \leftx- \pi \right \\ y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{1}{2}\pi -2\pi \\ y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi $ 22. Soal SIMAK UI 2012 Kode 523 *Soal Lengkap Diberikan $fx=sin^{2}x$. Jika $f'x$ menyatakan turunan pertama dari $fx$, maka $\lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left x+\frac{1}{h} \right -f'x\right \}=\cdots$ $\begin{align} A\ & sin\ 2x \\ B\ & -cos\ 2x \\ C\ & 2\ cos\ 2x \\ D\ & 2\ sin\ x \\ E\ & -2\ cos\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Bentuk limit $\lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left x+\frac{1}{h} \right -f'x\right \}$ pada soal memiliki kemiripan dengan definisi turunan fungsi yaitu $\begin{align} y &= fx \\ f'x &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{fx+p-fx}{p} \\ f''x &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f'x+p-f'x}{p} \\ f^{3}x &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f''x+p-f''x}{p} \\ \vdots & \end{align}$ Jika kita misalkan $h=\dfrac{1}{a}$ maka kita peroleh $a=\dfrac{1}{h}$ Lalu untuk $h \rightarrow \infty$ kita peroleh $a \rightarrow 0$ Dari apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan pada soal, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} & \lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left x+\frac{1}{h} \right -f'x\right \} \\ &= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{1}{a} \left\{ f' \left x+ a \right -f'x\right \} \\ &= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{ f' \left x+ a \right -f'x}{a} \end{align}$ Dari bentuk di atas dapat kta simpulkan bahwa yang ditanyakan pada soal adalah turunan kedua dari fungsi $fx=sin^{2}x$, yaitu $\begin{align} fx &= sin^{2}x \\ f'x &= 2\ \cdot sin\ x\ cos\ x \\ f''x &= 2\ \cdot cos\ x\ \cdot cos\ x + 2 \cdot sin\ x \cdot \left-sin\ x \right \\ &= 2\ \cdot cos^{2}x - 2 \cdot sin^{2}x \\ &= 2\ \left cos^{2}x - sin^{2}x \right \\ &= 2\ cos\ 2x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 2\ cos\ 2x$ 23. Soal UM UGM 2014 Kode 532 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= \left sin\ x + cos\ x \right\left cos\ 2x + sin\ 2x \right$ dan $f'\left x \right=2\ cos\ 3x +gx$ maka $gx=\cdots$ $\begin{align} A\ & cos\ 3x +sin\ x \\ B\ & cos\ 3x -sin\ x \\ C\ & cos\ x +sin\ x \\ D\ & cos\ x - sin\ x \\ E\ & -cos\ x + sin\ x \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas, kita mungkin memerlukan catatan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut pada perbandingan trigonometri. $\begin{align} f\left x \right &= \left sin\ x + cos\ x \right\left cos\ 2x + sin\ 2x \right\\ &= sin\ x\ cos\ 2x + sin\ x\ sin\ 2x + cos\ x\ cos\ 2x + cos\ x\ sin\ 2x\\ &= sin\ x\ cos\ 2x + cos\ x\ sin\ 2x + sin\ x\ sin\ 2x + cos\ x\ cos\ 2x \\ &= sin \left 2x+x \right + cos \left2x-x \right \\ &= sin \left 3x \right + cos \left x \right \\ f'\left x \right\ &= 3\ cos \left 3x \right - sin \left x \right \\ &= 2\ cos \left 3x \right + cos \left 3x \right - sin \left x \right \\ \hline f'\left x \right\ &= 2\ cos \left 3x \right + g \left x \right \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ cos\ 3x -sin\ x$ 24. Soal SBMPTN 2014 Kode 589/586 *Soal Lengkap Jika $f\left x \right= 2x + sin\ 2x$ untuk $-\dfrac{\pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4} $, maka $f'x=\cdots$ $\begin{align} A\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left tan\ x \right ^{i} \\ B\ & 4\ \left 1-cos^{2}x \right \\ C\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i} \\ D\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -sin\ x \right ^{2i} \\ E\ & 4\ cos\ 2x \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} f\left x \right &= 2x + sin\ 2x \\ f '\left x \right &= 2 + 2\ cos\ 2x \\ &= 2 \left1 + cos\ 2x \right \\ &= 2 \left1 + 2cos^{2}x-1 \right \\ &= 4cos^{2}x \end{align}$ Sampai pada langkah di atas kita belum mendapatkan jawaban seperti apa yang diinginkan pembuat soal. Kita coba mengeksplorasi beberapa pilihan yang ada. Untuk pilihan $B$ dan $E$ sudah tidak mungkin lagi menjadi jawaban, sehingga yang perlu kita eksplorasi adalah pilihan $A$, $C$, atau $D$. Disini yang kita pilih untuk di eksplorasi adalah pilihan $C\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i}$ $\begin{align} & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i} \\ & =4 \left [ \left -1 \right ^{0} \left tan\ x \right ^{20}+\left -1 \right ^{1} \left tan\ x \right ^{21} + \left -1 \right ^{2} \left tan\ x \right ^{22} +\cdots \right]\\ & =4 \left[ \left 1 \right \left tan\ x \right ^{0}+\left -1 \right \left tan\ x \right ^{2 }+1 \left tan\ x \right ^{4} +\left -1 \right \left tan\ x \right ^{6} +\cdots \right] \\ & = 4 \left[ 1 + \left -1 \right \left tan\ x \right ^{2 }+\left 1 \right \left tan\ x \right ^{4} +\left -1 \right \left tan\ x \right ^{6} +\cdots \right] \\ \hline & a=1\ \text{dan}\ r=-tan^{2}x \\ & S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r} \\ \hline & = 4 \left[ \dfrac{1}{1+ tan^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ \dfrac{1}{sec^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ cos^{2}x \right] \\ \end{align}$ Dari hasil eksplorasi di atas kita peroleh $4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i} = 4 \left[ cos^{2}x \right]$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left -1 \right ^{i} \left tan\ x \right ^{2i}$ 25. Soal SBMPTN 2015 Kode 534 *Soal Lengkap Fungsi $f\left x \right= -\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}$ untuk $- \pi \lt x \lt 2\pi$, turun pada interval... $\begin{align} A\ & 0 \lt x \lt \dfrac{5\pi}{12} \\ B\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{12} \\ C\ & \dfrac{\pi}{6} \lt x \lt \dfrac{\pi}{3} \\ D\ & \dfrac{5\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{7\pi}{12} \\ E\ & -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{fx}$ maka $y'=\dfrac{f'x}{2\sqrt{fx}}$. $\begin{align} f\left x \right &= -\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi} \\ f '\left x \right &= -\dfrac{-2\ cos\ x\ sin\ x + \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{2\ cos\ x\ sin\ x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \end{align}$ Agar $f\left x \right$ turun maka $f'\left x \right \lt 0$, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} f '\left x \right & \lt 0 \\ \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & \lt 0 \\ \end{align}$ Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu $\begin{align} f '\left x \right & = 0 \\ \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & = 0 \\ sin\ 2x - \frac{1}{2} & = 0 \\ sin\ 2x & = \frac{1}{2} \\ sin\ 2x & =sin\ \frac{ \pi}{6} \\ \hline 2x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{11\pi}{12},\frac{ \pi}{12},\frac{13\pi}{12} \\ \hline 2x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 2x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{7\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{17\pi}{12} \end{align}$ Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left x \right \lt 0$ Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $A,B,C,D,E$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $E\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya. Kita uji nilai $x$ dari $-\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ yaitu $x=0$ $\begin{align} f '\left x \right &= \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{sin\ 20 - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}0+\frac{0}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{- \frac{1}{2}}{2+\pi} \lt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left x \right \lt 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ 26. Soal SBMPTN 2015 Kode 541 *Soal Lengkap Fungsi $f\left x \right= \sqrt{cos^{2}2x+x}$ untuk $ x \gt 0$, naik pada interval... $\begin{align} A\ & \dfrac{4\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{12} \\ B\ & \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24} \\ C\ & \dfrac{7\pi}{6} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{6} \\ D\ & \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{24} \\ E\ & \dfrac{5\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{12} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{fx}$ maka $y'=\dfrac{f'x}{2\sqrt{fx}}$. $\begin{align} f\left x \right &= \sqrt{cos^{2}2x+x} \\ f '\left x \right &= \dfrac{-2\ cos\ 2x\ \cdot 2 \cdot sin\ 2x + 1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-4\ cos\ 2x\ sin\ 2x + 1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \end{align}$ Agar $f\left x \right$ naik maka $f'\left x \right \gt 0$, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} f '\left x \right & \gt 0 \\ \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} & \gt 0 \\ \end{align}$ Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu $\begin{align} f '\left x \right & = 0 \\ \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} & = 0 \\ -2 sin\ 4x +1 & = 0 \\ 2sin\ 4x & = 1 \\ sin\ 4x & = \dfrac{ 1}{2} \\ sin\ 4x & = sin\ \frac{ \pi}{6} \\ \hline 4x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2}\\ x & =\frac{\pi}{24},\ \frac{13 \pi}{12},\ \frac{25\pi}{24},\cdots \\ \hline 4x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 4x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2} \\ x & = \frac{5\pi}{24},\ \frac{17\pi}{24},\ \frac{29\pi}{24},\cdots \end{align}$ Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left x \right \gt 0$ Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $A,B,C,D,E$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $B\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya. Kita uji nilai $x$ dari $\dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ yaitu $x=\dfrac{12\pi}{24}=90$ $\begin{align} f '\left x \right &= \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-2 sin\ 490 +1}{2\sqrt{1+90}} \\ &= \dfrac{0+1}{2\sqrt{1+90}} \\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{1+90}} \gt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left x \right \gt 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ 26. Soal SBMPTN 2015 Kode 510 *Soal Lengkap Fungsi $f\left x \right= \sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}$ untuk $ -\pi \leq x \leq \pi$, turun pada interval... $\begin{align} A\ & 0 \leq x \leq \dfrac{ \pi}{ 2} \\ B\ & 0 \lt x \lt \pi \\ C\ & -\dfrac{ \pi}{ 3} \leq x \leq 0 \\ D\ & -\dfrac{ \pi}{ 3} \leq x \leq \dfrac{\pi}{3} \\ E\ & -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sedikit catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{fx}$ maka $y'=\dfrac{f'x}{2\sqrt{fx}}$. $\begin{align} f\left x \right &= \sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x} \\ f '\left x \right &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} \end{align}$ Agar $f\left x \right$ turun maka $f'\left x \right \lt 0$, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} f '\left x \right & \lt 0 \\ \dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} & \lt 0 \\ \end{align}$ Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu $\begin{align} f '\left x \right & = 0 \\ \dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} & = 0 \\ \frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x & = 0 \\ cos\ x & = \frac{x}{\sqrt{2}} \\ cos\ x & = cos\ \frac{ \pi}{4} \\ \hline x & =\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{\pi}{4} \\ \hline x & =-\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ x & =-\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4} \\ \end{align}$ Langkah selanjutnya sama seperti menentukan daerah penyelesaian pada pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan daerah atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left x \right \gt 0$ Tetapi pada saat ini kita coba manganalisa dari pembuat nol yang kita peroleh di atas dan pilihan $A,B,C,D,E$. Pada soal pilihan yang kita uji adalah $E\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat nol pada batas atas dan batas bawahnya. Kita uji nilai $x$ dari $-\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ yaitu $x=0$ $\begin{align} f '\left x \right &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ 0}{2\sqrt{2+\frac{0}{\sqrt{2}}-sin\ 0}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- 1}{2\sqrt{2+0-0}} \gt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left x \right \lt 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ 27. Soal UMPTN 1996 Rayon A *Soal LengkapPersamaan garis yang tegak lurus garis singgung kurva $y=tan\ x$ di titik $\left \frac{\pi}{4},1 \right$ adalah... $\begin{align} A\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}+1 \\ B\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}-1 \\ C\ & y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{8}-1 \\ D\ & y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}-1 \\ E\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}+1 \end{align}$ Alternatif PembahasanGradien garis singgung kurva $y=tan\ x$ di titik $\left \frac{\pi}{4},1 \right$ adalah $\begin{align} y & = tan\ x \\ m=y' & = sec^{2} x \\ & = \dfrac{1}{cos^{2}\ x} \\ & = \dfrac{1}{cos^{2} \left \frac{\pi}{4} \right} \\ & = \dfrac{1}{\left \frac{1}{2} \sqrt{2} \right^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left \frac{1}{4} \cdot 2 \right} = 2 \end{align}$ Dua garis saling tegak lurus maka perkalian kedua gradien garis adalah $-1$ atau $m_{1} \cdot m_{2}=-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva gradiennya adalah $m=-\dfrac{1}{2}$. Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva di titik $\left \frac{\pi}{4},1 \right$ dan $m=-\dfrac{1}{2}$ adalah $\begin{align} y-y_{1} & = m \left x-x_{1} \right \\ y-1 & = -\dfrac{1}{2} \left x-\frac{\pi}{4} \right \\ y-1 & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8} \\ y & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8}+1 \end{align}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}+1$ 28. Soal SIMAK UI 2010 Kode 205 *Soal Lengkap Jika diketahui $fx= \left tan x \right$, maka laju perubahan $fx$ pada saat $x=k$, dimana $\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$ akan sama dengan... $\begin{align} A\ & -sin\ k \\ B\ & cos\ k \\ C\ & -sec^{2}\ k \\ D\ & sec^{2}\ k \\ E\ & cot\ k \end{align}$ Alternatif Pembahasan Berdasarkan definisi nilai mutlak fungsi $fx= \left tan x \right$ dapat kita tuliskan, $ \left tan x \right = \left\{\begin{array}{cc} tan x,\ \text{untuk}\ tan x \geq 0 \\ -tan x,\ \text{untuk}\ tan x \lt 0 \end{array} \right.$ Untuk $k=x$ dan $\dfrac{\pi}{2} \lt k \lt \pi$ maka $x$ berada di kuadran II diperoleh $tan x$ bernilai negatif sehingga $fx=- tan\ x$. Laju perubahan $fx$ terhadap $x$ dapat kita tuliskan $\dfrac{dfx}{dx}=-sec^{2}x$, dan laju perubahan $fx$ pada saat $x=k$ adalah $\dfrac{dfk}{dx}=-sec^{2}k$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ -sec^{2}\ k$ 29. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 *Soal Lengkap $y= sin\left sin\left sin\left sin\left \cdots\left sin\left sin\ x \right \right \right \cdots \right \right \right $ Tentukan $\dfrac{dy}{dx}$ pada $x=0$. $\begin{align} A\ & - \infty \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & \infty \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas kita lakukan dengan beberapa eksplorasi dengan fungsi yang sederhana. Untuk $y=sinx$ $\begin{align} f'x=\dfrac{dy}{dx}\ & =cosx \\ f'0\ & =cos0 \\ = 1 \end{align}$ Untuk $y=sin\left sin\ x \right $ $\begin{align} f'x=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos\left sin\ x \right \cdot cosx \\ f'0\ & =cos\left sin\ 0 \right \cdot cos0 \\ & =cos\left 0 \right \cdot 1 \\ & =1 \end{align}$ Untuk $y=sin\left sin \left sin\ x \right \right $ $\begin{align} f'x=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos \left sin \left sin\ x \right \right \cdot cos \left sin\ x \right \cdot cosx \\ f'0\ & =cos \left sin \left sin\ 0 \right \right \cdot cos \left sin\ 0 \right \cdot cos0 \\ & =cos \left sin \left 0 \right \right \cdot cos \left 0 \right \cdot 1 \\ & =cos \left 0 \right \cdot 1 \cdot 1 \\ & =1 \cdot 1 \cdot 1 \\ & =1 \end{align}$ Jika kita lakukan eksplorasi pada langkah berikutnya hasilnya juga adalah $1$ dan ini menjawab untuk fungsi $y= sin\left sin\left sin\left sin\left \cdots\left sin\left sin\ x \right \right \right \cdots \right \right \right $ hasilnya adalah $1$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 1$ 30. Soal UMPTN 1991 *Soal Lengkap Nilai maksimum dari $fx= 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x$ untuk $0 \lt x \lt \pi$, adalah... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & 3 \\ C\ & 4 \\ D\ & -6 \\ E\ & -12 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba selesaikan dengan uji turunan pertama $f'x= 0$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f'x & = -4\ sin\ 2x + 4\ cos\ x \end{align}$ Untuk $f'x=0$, kita peroleh $\begin{align} -4\ sin\ 2x + 4\ cos\ x & = 0 \\ -4\ 2\ sin\ x\ cos\ x + 4\ cos\ x & = 0 \\ -4\ cos\ x \left2\ sin\ x - 1 \right & = 0 \\ -4\ cos\ x= 0\ \text{atau}\ 2\ sin\ x - 1 & = 0 \\ cos\ x= 0\ \text{atau}\ sin\ x & = \frac{1}{2} \\ \end{align}$ Untuk $0 \lt x \lt \pi$ kita peroleh Saat $cos\ x= 0$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=90^{\circ}$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left 90^{\circ} \right & = 2\ cos\ 2\left 90^{\circ} \right + 4\ sin\ \left 90^{\circ} \right \\ & = 2\ cos\ 180^{\circ} + 4 sin\ 90^{\circ} \\ & = 2\ \left -1 \right + 4 \left 1 \right = 2 \end{align}$ Saat $sin\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=30^{\circ}, 150^{\circ}$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left 30^{\circ} \right & = 2\ cos\ 2\left 30^{\circ} \right + 4\ sin\ \left 30^{\circ} \right \\ & = 2\ cos\ 60^{\circ} + 4 sin\ 30^{\circ} \\ & = 2\ \left \frac{1}{2} \right + 4 \left \frac{1}{2} \right = 3 \end{align}$ $\begin{align} fx & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left 150^{\circ} \right & = 2\ cos\ 2\left 150^{\circ} \right + 4\ sin\ \left 150^{\circ} \right \\ & = 2\ cos\ 300^{\circ} + 4\ sin\ 150^{\circ} \\ & = 2\ \left \frac{1}{2} \right + 4\ \left \frac{1}{2} \right = 3 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 3$ 31. Soal UMPTN 1992 *Soal Lengkap Diketahui $fx= \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$. Garis singgung grafiknya pada $x=\dfrac{\pi}{2}$ memotong sumbu $y$ di titik $\left 0,b \right$, nilai $b$ yang memenuhi adalah... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & \dfrac{\pi}{2} \\ C\ & -2+\dfrac{\pi}{2} \\ D\ & 2-\dfrac{\pi}{2} \\ E\ & 2+\dfrac{\pi}{2} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba selesaikan dengan uji turunan pertama, dimana kita ketahui bahwa gradien garis singgung $m=f'x$. $\begin{align} fx & = \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline u = 2+cos\ x & \rightarrow u'=-sin\ x \\ v = sin\ x & \rightarrow u'=cos\ x \\ \hline f'x & = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{\left -sin\ x \right\left sin\ x \right-\left 2+cos\ x \right\left cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -sin^{2} x -2cos\ x - cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ - \leftsin^{2} x 2cos\ x + cos^{2} x \right }{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -\left1 +2cos\ x \right}{sin^{2} x} \end{align}$ Gradien garis singgung $m=f'x$ saat $x=\dfrac{\pi}{2}$ adalah $\begin{align} m & = \dfrac{ -\left1 +2cos\ x \right}{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -\left1 +2cos\ \frac{\pi}{2} \right}{sin^{2} \frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{ -\left1 +2 \cdot 0 \right}{1^{2}} = -1 \end{align}$ Untuk $x=\dfrac{\pi}{2}$, kita peroleh $y=fx$, yaitu $\begin{align} y & = \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ & = \dfrac{2+cos\ \frac{\pi}{2}}{sin\ \frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{2+ 0}{1} 2 \end{align}$ Persamaan garis singgung yang melelui titik $\left \frac{\pi}{2}, 2 \right$ dan gradien $m=-1$ adalah $\begin{align} y-y_{1} & = m \left x -x_{1} \right \\ y-2 & = -1 \left x - \frac{\pi}{2} \right \\ y-2 & = -x + \frac{\pi}{2} \\ y & = -x + \frac{\pi}{2} +2 \end{align}$ Memotong sumbu $y$ adalah pada saat $x=0$, yaitu $\left 0, \frac{\pi}{2} +2 \right$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \frac{\pi}{2} +2 $ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Beberapa pembahasan soal Turunan Fungsi Trigonometri di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban penilaian harian matematika, lembar jawaban penilaian akhir semester matematika, presentasi hasil diskusi matematika atau pembahasan quiz matematika di kelas. Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 30+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Turunan Fungsi Trigonometri silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊. Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Contohsoal fungsi dan grafik trigonometri 3 memuat kumpulan soal un fungsi trigonometri dan kumpulan soal un grafik fungsi trigonometri untuk level kognitif penalaran. Contoh soal dan jawaban fungsi trigonometri. Fx sin ax b f x a cos ax b 2. Berikut ini adalah turunan dari fungsi fungsi trigonometri dalam variabel sudut ax b dimana a dan b

You are here Home / rumus matematika / Soal Matematika 15 Soal Turunan Aljabar dan Trigonometri Guys, rumushitung ada soal matematika nih. Ada 20 soal tentang turunan fungsi aljabar dan trigonometri. Bagi kalian yang belum mempelajari bisa cari di laman Pada soal ini sudah ada pembahasannya. Jadi, kalian yang masih bingung cara mengerjakannya bisa melihat pembahasan soal. Ingat ! Rumus Turunan Aljabar fx = k → f'x = 0 k = konstantafx = x → f'x = 1fx = kx → f'x = kfx = kUx → f'x = kU'xfx = axn → f'x = = U ± V → f'x = U’ ± V’fx = U x V → f'x = U’ V + V’ Ufx = U/V → f'x = U’ V – V’ U/V2fx = Uxn → f'x = nUxn-1 . U'x Rumus Turunan Trigonometri fx = sin x → f'x = cos xfx = cos x → f'x = -sin xfx = sin ax → f'x = a cos axfx = cos ax → f'x = -a sin axfx = tan x → f'x = sec2 xfx = cot x → f'x = -csc2 xfx = sec x → f'x = sec x tan xfx = csc x → f'x = -csc x cot xfx = siny ax → f'x = y sin ax . a cos ax Soal dan Pembahasan Turunan Aljabar dan Trigonometri 1. Turunan pertama dari fx = 5x + 1 adalah . . . A. 5xB. 5C. 5x + 1D. 1E. 0 Pembahasan fx = 5x + 1f'x = 1 . 5x1-1 + 0f'x = 5 B 2. Turunan pertama dari fx = 5x2 – 10x – 3 adalah . . . A. 5x – 10B. 5x + 10C. 10x – 10D. 10x + 10E. 5x2 – 10 Pembahasan fx = 5x2 – 10x – 3f'x = 2 . 5x2-1 – 10 – 0f'x = 10x – 10 C 3. Diketahui f'x = 14 dan fx = 2x2 + 6x -9. Nilai x yang memenuhi setelah turunan adalah . . . A. 2B. -2C. 3D. -4E. 4 Pembahasan fx = 2x2 + 6x – 9f'x = 4x + 6 Maka,f'x = 144x + 6 = 144x = 14 – 64x = 8x = 2 A 4. Turunan pertama dari fx = 3sin 3x adalah . . . A. 3cos 3xB. -9cos 3xC. 9cos 3xD. -3cos 3xE. -9sin 3x Pembahasan fx = 3sin 3xf'x = 3 . 3cos 3xf'x = 9cos 3x C 5. Diketahui fx = 7x2 – 53x2 + 3x – 5, nilai dari f'3 = . . . A. 1520B. 2423C. 3155D. 2520E. 3255 Pembahasan fx = 7x2 – 53x2 + 3x – 5U = 7x2 – 5 → U’ = 14xV = 3x2 + 3x – 5 → V’ = 6x + 3 fx = U . Vf'x = U’ V + V’ Uf'x = 14x 3x2 + 3x – 5 + 6x + 37x2 – 5f'3 = 143 332 + 33 – 5 + 63 + 3732 – 5f'3 = 4227 + 9 – 5 + 18 + 363 – 5f'3 = 4231 + 2158f'3 = 1302 + 1218f'3 = 2520 D 6. Jika fx = 2f'x dengan fx = x2 + 3. Nilai x yang memenuhi adalah . . . A. 1 dan 3B. -1 dan 3C. -3 dan -1D. -3 dan 1E. -1 dan 1 Pembahasan fx = x2 + 3f'x = 2x Maka,fx = 2f'xx2 + 3 = 22xx2 – 4x + 3 = 0x – 1x – 3 = 0x = 1 V x = 3 Jadi,x = 1 dan 3 A 7. Diketahui turunan f'x = 12. Jika fx = 1/3x3 – 4x + 3 dan x adalah bilangan bulat positif, maka nilai x setelah diturunkan adalah . . .A. 0B. 1C. 2D. 3E. 4 Pembahasan fx = 1/3x3 – 4x + 3f'x = x2 – 4 Maka,f'x = 12x2 – 4 = 12x2 = 16x = -4 dan x = 4Nilai x yang bilangan positif adalah 4 E 8. Turunan pertama fx = 3x2 sin2 3x adalah . . . A. 6xsin2 3x – 3x sin 3x cos 3xB. 6xsin2 3x + 3x sin 3x cos 3xC. 3xsin2 3x + 3x sin 3x cos 3xD. 3xsin2 3x – 3x sin 3x cos 3xE. 6xsin2 x + 3x sin x cos x Pembahasan fx = 3x2 sin2 3xU = 3x2 → U’ = 6xV = sin2 3x → V’ = 2sin 3x . 3cos 3xatau V’ = 6sin 3x cos 3x f'x = U’ V + V’ Uf'x = 6x sin2 3x + 6sin 3x cos 3x3x2f'x = 6x sin2 3x + 18x2 sin 3x cos 3xf'x = 6xsin2 3x + 3x sin 3x cos 3x B 9. Diketahui fungsi fx = 9x2 + 16x + 9 dan gx = x2 – 3x + 4. Nilai dari f'g'3 = . . . A. 60B. 70C. 80D. 90E. 100 Pembahasan fx = 9x2 + 16x + 9f'x = 18x + 16 gx = x2 – 3x + 4g'x = 2x – 3 Maka,f'g'x = 182x – 3 + 16f'g'3 = 1823 – 3 + 16f'g'3 = 54 + 16f'g'3 = 70 B 10. Turunan kedua dari fx = 3x4 + 4x3 – 3x2 – 2x + 4 adalah . . . A. 36x2 – 24x – 6B. 36x2 + 24x – 6C. 36x2 + 24x + 6D. 12x2 + 24x – 6E. 12x2 – 24x – 6 Pembahasan fx = 3x4 + 4x3 – 3x2 – 2x + 4f'x = 12x3 + 12x2 – 6x – 2turunan pertama f'x = 12x3 + 12x2 – 6x – 2f”x = 36x2 + 24x – 6 Bturunan kedua 11. Jika gx = 2x – 32, maka g'2 = . . . A. 1B. -1C. 2D. -4E. 4 Pembahasan gx = 2x – 32g'x = 2 2x – 32-1 . 2g'x = 22x – 3 . 2g'x = 42x – 3g'2 = 422 – 3g'2 = 4 E 12. Turunan kedua fungsi fx = csc2 x adalah . . . A. 2csc2 x cot xB. -csc2 x cot xC. -2csc2 x cot xD. csc2 x cot xE. -2csc x cot x Pembahasan fx = csc2 xf'x = 2csc x . -csc x cot xf'x = -2csc2 x cot x C 13. Jika fx = sin2 x – cos2 x, maka f'π/6 = . . . A. √3B. 0C. -√3D. 2√3E. -2√3 Pembahasan fx = sin2 x – cos2 xf'x = 2sin x . cos x + 2cos x . sin xf'π/6 = 2sin π/6 . cos π/6 + 2cos π/6 . sin π/6f'π/6 = 21/2√3/2 + 2√3/21/2f'π/6 = √3/2 + √3/2f'π/6 = √3 A 14. Jika px = x2 – 3 dan qx = 2x2 + 1, maka nilai p'2 – 2q'-2 adalah . . . A. 20B. 30C. 40D. 50E. 60 Pembahasan px = x2 – 3p'x = 2x qx = 2x2 + 1q'x = 4x Maka,= p'2 – 2q'-2= 22 – 24-2= 4 + 16= 20 A 15. Diketahui fx = 4x2 – 1/x2 – 2x + 1, maka f'-1 = . . . A. 1B. -2C. 3D. -4E. 5 Pembahasan fx = 4x2 – 1/x2U = 4x2 – 1 → U’ = 8xV = x2 → V’ = 2x f'x = U’ V – V’ U/V2f'x = [8x . x2 – 2x . 4x2 – 1]/x22f'x = 8x3 – 8x3 + 2x/x4f'x = 2x/x4f'x = 2/x3f'-1 = 2/-13f'-1 = 2/-1f'-1 = -2 B Itulah beberapa soal matematika tentang turunan aljabar dan trigonometri. Semoga yang rumushitung share di atas dapat menambah ilmu wawasan dan pengetahuan kalian. Semoga bermanfaat dan sekian terima kasih.

ContohSoal dan Jawaban Turunan Fungsi Trigonometri Doc 11-20: Download: Soal dan Kunci Jawaban Turunan Fungsi Trigonometri Doc 21-31: Download: Baiklah, itu tadi kumpulan soal yang bisa teman teman unduh dan pelajari atau bisa juga di cetak/print melalui perangkat samrtphone maupun laptop/PC Anda.

Matematika Dasar » Turunan Fungsi › Turunan Trigonometri, Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Konsep turunan juga berlaku untuk fungsi trigonometri seperti fungsi sinus, cosinus, dan tangen, serta kebalikan masing-masing fungsi tersebut yakni fungsi cosecan, secan, dan cotangen. Oleh Tju Ji Long Statistisi Hub. WA 0812-5632-4552 Pada artikel sebelumnya, kita telah membahas konsep turunan khususnya untuk fungsi aljabar beserta contoh soal dan pembahasannya. Sekarang kita akan lanjutkan materi tersebut untuk turunan yang melibatkan fungsi trigonometri seperti fungsi sinus sin, cosinus cos, dan tangen tan, serta kebalikan dari masing-masing fungsi tersebut yakni fungsi cosecan csc, secan sec, dan cotangen cot. Ingat bahwa terdapat beberapa cara untuk menotasikan turunan yakni \D_x, f'x, y', \frac{dfx}{dx}\ dan \ \frac{dy}{dx} \. Kita akan menggunakan beberapa notasi turunan tersebut secara bergantian pada artikel ini. Proses pencarian turunan fungsi trigonometri akan banyak melibatkan rumus identitas trigonometri, sehingga sangat disarankan kamu untuk memahami materi tersebut terlebih dahulu. Untuk mencari turunan fungsi sinus atau \D\sin⁡{x}\, kita bisa menggunakan definisi turunan dan identitas penambahan untuk \\sin⁡{x+h}\. Kita peroleh sebagai berikut. Perhatikan bahwa dua limit pada dua ekspresi terakhir ini sesungguhnya merupakan limit yang telah kita pelajari pada pembahasan mengenai limit. Dan kita telah membuktikan bahwa Jadi, Dengan cara serupa, kita dapat mencari turunan fungsi cosinus yaitu Kita ringkaskan hasil-hasil ini dalam sebuah teorema penting. TEOREMA Fungsi \fx = \sin⁡{x}\ dan \gx = \cos{⁡x}\ keduanya dapat didiferensialkan dan, Untuk mencari turunan fungsi tangen atau \D\tan⁡{x}\, kita bisa menggunakan definisi turunan dan identitas penambahan untuk \\tan{x+h}\, yakni Sebenarnya ada cara mudah untuk mencari turunan dari fungsi tangen, yakni kita dapat gunakan kesamaan \ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \ dan kemudian menerapkan rumus turunan untuk hasil bagi dua fungsi. Misalkan \ u = \sin x \ dan \ v = \cos x \, maka berdasarkan turunan untuk hasil bagi, kita peroleh Turunan Fungsi \ \csc x, \sec x \ dan \ \tan x \ Untuk mencari turunan fungsi \ \csc x, \sec x \ dan \ \tan x \, kita dapat memanfaatkan kesamaan bahwa dan kemudian menerapkan rumus turunan untuk hasil bagi dua fungsi seperti yang telah kita contohkan untuk mencari turunan fungsi tangen. Dari hasil perhitungan diperoleh Perhatikan beberapa contoh soal berikut Contoh 1 Cari turunan dari \ fx = 3 \sin x - 2 \cos x \ Pembahasan Contoh 2 Cari turunan dari \ y = 3 \sin 2x \. Pembahasan Kita memerlukan turunan dari \\sin⁡{2x}\; sayangnya, dari penjelasan di atas kita hanya tahu bagaimana mencari turunan dari \\sin{x}\. Tetapi, karena \\sin{2x} = 2 \sin{x} \cos{x}\, kita peroleh Contoh 3 Diketahui \fx = 2 \sin 2x\, maka turunan dari fungsi tersebut adalah \ f’x = \cdots \ \ 4 \cos x \ \ 4 \cos 2x \ \ 4 \sin x \ \ -4 \sin 2x \ \ 4 \sin 2x \ Pembahasan Ingat bahwa turunan dari \ fx = a \sin bx \ adalah \f’x = ab \cos bx\. Dengan demikian turunan dari \fx = 2 \sin 2x\ adalah \ f’x = 4 \cos 2x \. Jawaban B. Contoh 4 Diketahui \ fx=\sin^2 x \, maka turunan dari fungsi tersebut adalah \ f’x = \cdots \ \ 2 \sin x \cdot \cos x \ \ 2 \sin 2x \cdot \cos x \ \ 2 \sin x \cdot \cos 2x \ \ \sin^3 x \ \ 2 \sin x \ Pembahasan Ingat bahwa untuk \ fx = u^nx \ di mana \ ux = gx \ maka turunan dari \fx\ adalah \ f’x = nu^{n-1}x \cdot u’x \. Dalam kasus ini, turunan dari \ fx = \sin^2 x \ adalah \ f’x = 2 \sin x \cdot \cos x \. Jawaban A. Contoh 5 Turunan pertama dari \ y = 3 \sin x -\cos x \ adalah \ y’ = \cdots \ \ 3 \cos x - \sin x \ \ 3 \cos x + \sin x \ \ \cos x + 3 \sin x \ \ -3 \cos x - \sin x \ \ -3 \cos x + \sin x \ Pembahasan Turunan pertama dari \ y = 3 \sin x -\cos x \, yaitu \begin{aligned} y &= 3 \sin x -\cos x \\[8pt] y' &= 3 \cos x -\sin x \\[8pt] &= 3 \cos x + \sin x \end{aligned} Jawaban B. Contoh 6 Turunan pertama dari \ y = 2 \sin 3x-3 \cos 2x \ adalah \ y’ = \cdots \ \ 6 \cos 3x+6 \sin 2x \ \6 \cos 3x-6 \sin 2x \ \ 6 \cos x + 6 \sin 2x \ \ 6 \cos 3x+6 \sin x \ \ 6 \cos x + 6 \sin x \ Pembahasan Turunan pertama dari \y\, yaitu \begin{aligned} y &= 2 \sin 3x-3 \cos 2x \\[8pt] y' &= 2 \cdot 3 \cos 3x - 3-2\sin 2x \\[8pt] &= 6 \cos 3x + 6\sin 2x \end{aligned} Jawaban A. Contoh 7 Diketahui \ fx =x^4 \sin 2x \, maka turunan dari fungsi tersebut adalah \ f’x = \cdots \ \ xx \cos 2x-2\sin 2x \ \ x^2\cos 2x+\sin 2x \ \ x^3\cos 2x+2\sin 2x \ \ 2x^3\cos 2x-2\sin 2x \ \ 2x^3x \cos 2x+2 \sin 2x \ Pembahasan Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan sifat turunan perkalian. Misalkan \ u = x^4 \ dan \v = \sin 2x\ sehingga diperoleh berikut \begin{aligned} fx &= x^4 \sin 2x \Leftrightarrow fx = u \cdot v \\[8pt] f'x &= u'v+uv' \\[8pt] &=4x^3 \cdot \sin 2x + x^4 \cdot 2 \cos 2x \\[8pt] &= 4x^3 \sin 2x + 2x^4 \cos 2x \\[8pt] &= 2x^3 2 \sin 2x + x\cos 2x \end{aligned} Jawaban E. Contoh 8 Diketahui \ fx = \sin 2x \cos 3x \, maka turunan dari fungsi tersebut adalah \ f'\left\frac{\pi}{4}\right = \cdots \ \ -\frac{3}{2} \sqrt{2} \ \ -\frac{1}{2} \sqrt{2} \ \ 0 \ \ \sqrt{2} \ \ 3\sqrt{2} \ Pembahasan Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa menggunakan rumus turunan perkalian, yakni misalkan \ u = \sin 2x \ dan \v = \cos 3x\ sehingga diperoleh berikut ini \begin{aligned} fx &= \sin 2x \cos 3x \Leftrightarrow fx = u \cdot v \\[8pt] f'x &= u' \cdot v+u \cdot v' \\[8pt] &= 2\cos 2x \cdot \cos 3x + \sin 2x \cdot -3 \sin 3x \\[8pt] &= 2\cos 2x \cos 3x - 3 \sin 2x \sin 3x \\[8pt] f'\left\frac{\pi}{4}\right &= 2\cos 2\left\frac{\pi}{4}\right \cdot \cos 3\left\frac{\pi}{4}\right - 3 \sin 2\left\frac{\pi}{4}\right \cdot \sin 3\left\frac{\pi}{4}\right \\[8pt] &= 2 \cos 90^\circ \cdot \cos 135^\circ - 3 \sin 90^\circ \cdot \sin 135^\circ \\[8pt] &= 2 \cdot 0 \cdot \left -\frac{1}{2}\sqrt{2}\right - 3 \cdot 1 \cdot \left\frac{1}{2}\sqrt{2}\right \\[8pt] &= -\frac{3}{2}\sqrt{2} \end{aligned} Jawaban A. Contoh 9 Diketahui \ fx = \sqrt{\cos 3x} \ maka turunan dari fungsi tersebut adalah \ f’x = \cdots \ \ -\frac{\sin 3x}{ 2 \sqrt{\cos 3x} } \ \ -\frac{3\sin 3x}{ 2 \sqrt{\cos 3x} } \ \ \frac{3\sin 3x}{ \sqrt{\cos 3x} } \ \ \frac{3\sqrt{\cos 3x}}{ 2\sin 3x } \ \ \frac{\sqrt{\cos 3x}}{ 2 \sin 3x } \ Pembahasan Ingat bahwa untuk \ fx = \sqrt{ux} \ maka turunannya yaitu \ f’x = \frac{\cdot u’x}{2\sqrt{\cdot u’x}} \. Dengan demikian, turunan dari \fx = \sqrt{\cos 3x}\, yaitu \ f'x = \frac{-3 \sin 3x}{2 \sqrt{\cos 3x}} \. Jawaban B. Contoh 10 Diketahui \ fx = \frac{2+\cos x}{\sin x} \ maka turunan dari fungsi tersebut adalah \ f’x = \cdots \ \ \frac{1+2\cos x}{\sin^2 x} \ \ \frac{1-2\cos x}{\sin^2 x} \ \ \frac{-1+2 \cos x}{\sin^2 x} \ \ \frac{-1-2 \cos x}{\sin^2 x} \ \ \frac{1+2 \cos x}{ 2 \sin^2 x } \ Pembahasan Untuk mengerjakan soal ini kita bisa gunakan sifat turunan pembagian, yakni misalkan \ u = 2 + \cos x \ dan \ v = \sin x \ sehingga diperoleh \begin{aligned} fx &= \frac{2+\cos x}{\sin x} \Leftrightarrow fx = \frac{u}{v} \\[8pt] f'x &= \frac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^2} \\[8pt] &= \frac{-\sin x \cdot \sin x - 2+\cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} \\[8pt] &= \frac{-\sin^2 x-2\cos x-\cos^2 x}{\sin^2 x} \\[8pt] &= \frac{-\sin^2x + \cos^2 x - 2\cos x}{\sin^2 x} \\[8pt] &= \frac{-1-2\cos x}{\sin^2 x} \end{aligned} Jawaban D. Contoh 11 Diketahui \ fx = \frac{1-\cos x}{\sin x} \, dengan \ \sin x \neq 0 \ maka \ f’\frac{\pi}{4} \ adalah… \ \sqrt{2}-1 \ \ \sqrt{2}+1 \ \ 1 \ \ 2-\sqrt{2} \ \ 2+\sqrt{2} \ Pembahasan Untuk menyelesaikan soal ini kita bisa menggunakan rumus turunan pembagian, yakni misalkan \ u = 1-\cos x \ dan \v = \sin x\ sehingga diperoleh \begin{aligned} fx &= \frac{1-\cos x}{\sin x} \Leftrightarrow fx = \frac{u}{v} \\[8pt] f'x &= \frac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^2} \\[8pt] &= \frac{-\sin x \cdot \sin x - 1-\cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} \\[8pt] &= \frac{\sin^2 x-\cos x+\cos^2 x}{\sin^2 x} \\[8pt] &= \frac{1-\cos x}{\sin^2 x} \\[8pt] f'\left \frac{\pi}{4} \right &= \frac{1-\cos \frac{\pi}{4}}{\sin^2 \frac{\pi}{4}} = \frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}^2} \\[8pt] &= \frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2 - \sqrt{2} \end{aligned} Jawaban D. Contoh 12 Diketahui \ fx = 1+x^2 \cos x \ maka \ f’\pi \ adalah… \ -\pi \ \ 0 \ \ -2\pi \ \ \pi+1 \ \ 2\pi-1 \ Pembahasan Untuk menyelesaikan soal ini, bisa gunakan sifat turunan perkalian, yaitu misalkan \ u = 1+x^2 \ dan \v=\cos x\ sehingga diperoleh \begin{aligned} fx &= 1+x^2 \cos x \Leftrightarrow fx = u \cdot v \\[8pt] f'x &= u' \cdot v+u \cdot v' \\[8pt] &= 2x \cdot \cos x + 1+x^2 \cdot -\sin x \\[8pt] &= 2x \cos x -1+x^2 \sin x \\[8pt] f'\pi &= 2\pi \cdot \cos \pi-1+\pi^2 \sin \pi \\[8pt] &= 2\pi \cdot -1 -1+\pi^2 \cdot 0 \\[8pt] &= -2\pi \end{aligned} Jawaban C. Cukup sekian penjelasan mengenai turunan fungsi trigonometri beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Semoga bermanfaat. Sumber Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. 2007. Calculus, ed 9. Penerbit Pearson. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.

H5Agbrz.

6myv1yf00s.pages.dev/189

6myv1yf00s.pages.dev/88

6myv1yf00s.pages.dev/338

6myv1yf00s.pages.dev/383

6myv1yf00s.pages.dev/51

6myv1yf00s.pages.dev/481

6myv1yf00s.pages.dev/257

6myv1yf00s.pages.dev/24

soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri